TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN TIẾN SĨ
- Tên đề tài luận án tiến sĩ: Sự tồn tại và cô đặc nghiệm của một số lớp phương trình elliptic chứa toán tử p-Laplace phân thứ
- Ngành: Toán Giải tích
- Mã số: 9460102
- Họ và tên NCS: Phạm Quỳnh Trang
- Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Nguyễn Văn Thìn
- Đơn vị đào tạo: Trường Đại học Sư phạm
- Cơ sở đào tạo: Đại học Thái Nguyên
NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN:
Luận án đạt được các kết quả sau:
1. Về lý luận:
Luận án nghiên cứu và chứng minh thành công sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường, không âm của lớp phương trình phân thứ nhiều pha trong RN
với hàm phi tuyến có độ tăng mũ kiểu Trudinger-Moser.
Chứng minh thành công sự tồn tại nghiệm yếu và bài toán năng lượng cực tiểu cho phương trình Choquard nhiều pha với số mũ tới hạn. Thiết lập sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình Choquard phân thứ nhiều pha không ô-tô-nôm chứa hai thế vị cạnh tranh.
Chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu cho phương trình kiểu Kirchhoff-Schrödinger phân thứ nhiều pha với kỳ dị trên RN trong cả hai trường hợp hàm phi tuyến có độ tăng mũ tới hạn và độ tăng mũ trên tới hạn. Đối với trường hợp trên tới hạn, luận án đã giới thiệu một hàm cải biên mới nhằm đưa bài toán về trường hợp tới hạn, khắc phục được sự thiếu khuyết tính compact của phép nhúng và bất đẳng thức kiểu Trudinger-Moser.
Các kết quả đạt được đã mở rộng một cách độc lập và phong phú các công trình nghiên cứu trước đây của một số tác giả trong và ngoài nước như Chen-Li-Yang, Ambrosio, hay Nguyễn Văn Thìn.
2. Về thực tiễn:
Luận án đã phân tích và làm rõ hiện tượng cô đặc nghiệm khi tham số tiến dần về 0. Kết quả chỉ ra rằng sau một phép đổi biến tịnh tiến phù hợp, dãy nghiệm của bài toán không ô-tô-nôm sẽ hội tụ mạnh về nghiệm của bài toán giới hạn. Chứng minh được cực đại toàn cục của nghiệm cô đặc xung quanh cực tiểu toàn cục của thế vị V và cực đại toàn cục của thế vị Q.
Các mô hình toán học và lớp toán tử không địa phương được nghiên cứu trong luận án cung cấp cơ sở lý thuyết toán học vững chắc, hứa hẹn khả năng ứng dụng cao trong việc mô tả và xử lý các hệ thống vật lý, cơ học lượng tử, khoa học vật liệu, động lực học chất lỏng cũng như sinh học thực tế.
CÁC ỨNG DỤNG, KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HOẶC NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU:
Các ứng dụng, khả năng ứng dụng trong thực tiễn
Làm phong phú và đóng góp sâu sắc thêm cho lý thuyết định tính hệ phương trình đạo hàm riêng chứa toán tử không địa phương và tích chập Choquard.
Kết quả nghiên cứu đóng góp tốt cho công tác nghiên cứu khoa học, đào tạo sau đại học ngành Toán giải tích tại Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên nói riêng và các cơ sở đào tạo chuyên ngành Toán trên cả nước nói chung.
Luận án là nguồn tài liệu tham khảo có giá trị cao cho các nhà toán học, giảng viên và sinh viên đam mê hướng nghiên cứu phương pháp biến phân trong phương trình elliptic phi tuyến.
Những vấn đề còn bỏ ngỏ cần tiếp tục nghiên cứu
Tiếp tục nghiên cứu mở rộng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Choquard phân thứ nhiều pha chứa thế vị cạnh tranh trong trường hợp tham số nhỏ. Mở rộng các kết quả đơn lẻ hiện tại sang việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất nghiệm của các hệ phương trình phân thứ nhiều pha đan xen phức tạp hơn.
INFORMATION OF DOCTORAL DISSERTATION
- Dissertation title: “Existence and concentration of solutions for elliptic equations involving the fractional p-Laplacian operator”.
- Speciality: Mathematical analysis
- Code: 9460102
- PhD. Candidate: Pham Quynh Trang
- Supervisors: Assoc. Prof. Dr Nguyen Van Thin
- Training Institute: University of Education - Thai Nguyen University
NEW SCIENTIFIC FINDINGS OF THE DISSERTATION
The dissertation achieves the following results:
- In theory:
The dissertation successfully investigates and establishes the existence of nontrivial, nonnegative weak solutions for a class of multi-phase fractional equations in RN involving nonlinearities with exponential growth of Trudinger-Moser type.
It successfully proves the existence of weak solutions and investigates the ground state energy problem for a multi-phase Choquard equation with critical exponent. Furthermore, it establishes the existence of weak solutions for a non-autonomous multi-phase fractional Choquard equation involving two competing potentials.
The existence of weak solutions is also established for a multi-phase fractional Kirchhoff-Schrödinger type equation with a singularity on RN under both critical and supercritical exponential growth conditions. For the supercritical case, the dissertation introduces a novel modified functional to reduce the problem to the critical setting, thereby overcoming the lack of compactness of the embeddings and the failure of the Trudinger-Moser type inequalities.
The obtained results independently extend and significantly enrich previous works by several domestic and international authors, such as Chen–Li–Yang, Ambrosio, and Nguyen Van Thin.
2. In practice:
The dissertation analyzes and elucidates the concentration phenomenon of solutions as the parameter approaches zero. The results indicate that, after an appropriate translation change of variables, the sequence of solutions for the non-autonomous problem converges strongly to a solution of the limiting problem. Furthermore, it is proved that the global maximum of the concentrating solution concentrates around the global minimum of the potential V and the global maximum of the potential Q.
The mathematical models and classes of non-local operators investigated in this dissertation provide a solid mathematical theoretical foundation, promising high potential for application in describing and processing physical systems, quantum mechanics, material sciences, fluid dynamics, as well as practical biology.
APPLICATIONS IN PRACTICE AND THE NEEDS FOR FURTHER STUDIES
The practical applications
The dissertation significantly enriches and deeply contributes to the qualitative theory of partial differential equations involving non-local operators and the Choquard convolution.
The research findings make a substantial contribution to scientific research and postgraduate training in Mathematical Analysis at the University of Education – Thai Nguyen University in particular, as well as math graduate schools nationwide in general.
The dissertation serves as a highly valuable reference for mathematicians, lecturers, and students passionate about variational methods in nonlinear elliptic equations.
Further studies needed
To continue expanding the research to prove the existence of solutions for multi-phase fractional Choquard equations involving competing potentials in the case of a small parameter. To extend the current isolated results to the study of the existence and properties of solutions for more complex, coupled systems of multi-phase fractional equations.
► Toàn văn luận án ... Chi tiết
► Trích yếu luận án ... Chi tiết
► Tóm tắt luận án (Tiếng Việt) ... Chi tiết
► Tóm tắt luận án (Tiếng Anh) ... Chi tiết